Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten) (Artikel) | Khan Academy (2024)

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

${\displaystyle \frac{6x^2}{12x^4-9x^3}}={\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot x^2}{3x^3(4x-3)}}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 0$‍ und $x\ne {\displaystyle \frac{3}{4}}$‍.

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot x^2}{3x^3(4x-3)}}& ={\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot x^2}{3\cdot x\cdot x^2(4x-3)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{3}\cdot 2\cdot \cancel{x^2}}{\cancel{3}\cdot x\cdot \cancel{x^2}(4x-3)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{2}{x(4x-3)}}\end{array}$‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

${\displaystyle \frac{2}{x(4x-3)}}$‍

Beachte, dass das Original $x\ne 0,{\displaystyle \frac{3}{4}}$‍ erfordert. Der vereinfachte Ausdruck hat die gleichen Anforderungen. Wir müssen keine zusätzlichen Werte einschränken.

Erinnere dich daran, dass der ursprüngliche Ausdruck $x\ne 3,-1$‍ erfordert. Der vereinfachte Ausdruck muss dieselben undefinierten Werte haben.

Aus diesem Grund müssen wir notieren, dass $x\ne 3$‍ ist. Wir brauchen nicht zu notieren, dass $x\ne -1$‍, da dies aus dem Ausdruck erkennbar wird.

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

Zähler und Nenner sind bereits faktorisiert.

${\displaystyle \frac{(x-2)(x-5)}{(2-x)(x+5)}}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 2$‍ und $x\ne -5$‍.

Schritt 3:Kürzen der Gegenzahl-Faktoren

Wir können $(x-2)$‍ und $(2-x)$‍ auf einen Faktor von $-1$‍ kürzen.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(x-2)(x-5)}{(2-x)(x+5)}}& ={\displaystyle \frac{-1\cancel{(x-2)}(x-5)}{\cancel{(2-x)}(x+5)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{-1(x-5)}{x+5}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{5-x}{x+5}}\end{array}$‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

${\displaystyle \frac{5-x}{x+5}}$‍ für $x\ne 2$‍

für $x\ne$‍

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

${\displaystyle \frac{15-10x}{8x^3-12x^2}}={\displaystyle \frac{5(3-2x)}{4x^2(2x-3)}}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 0$‍ und $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$‍.

Schritt 3:Kürzen der Gegenzahl-Faktoren

Wir können $(3-2x)$‍ und $(2x-3)$‍ auf einen Faktor von $-1$‍ kürzen.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{5(3-2x)}{4x^2(2x-3)}}& ={\displaystyle \frac{5\cdot (-1)\cancel{(3-2x)}}{4x^2\cancel{(2x-3)}}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{-5}{4x^2}}\end{array}$‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

${\displaystyle \frac{-5}{4x^2}}$‍ für $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$‍

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

${\displaystyle \frac{3x}{15x^2-6x}}={\displaystyle \frac{3x}{3x(5x-2)}}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 0$‍ und $x\ne {\displaystyle \frac{2}{5}}$‍.

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3x}{3x(5x-2)}}& ={\displaystyle \frac{\cancel{3x}}{\cancel{3x}(5x-2)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{1}{5x-2}}\end{array}$‍

Beachte, dass bei einem vollständigen Kürzen des Zählers noch ein Faktor von $1$‍ verbleibt.

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

${\displaystyle \frac{1}{5x-2}}$‍ für $x\ne 0$‍

für $x\ne$‍

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

Beachte, dass es einen gemeinsamen Faktor von $3x$‍ im Zähler gibt. Wir können diesen ausklammern und dann das resultierende Trinom faktorisieren.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3x^3-15x^2+12x}{3x-3}}& ={\displaystyle \frac{3x(x^2-5x+4)}{3(x-1)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{3x(x-4)(x-1)}{3(x-1)}}\end{array}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 1$‍ ist.

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3\cdot x(x-4)(x-1)}{3\cdot (x-1)}}& ={\displaystyle \frac{\cancel{3}\cdot x(x-4)\cancel{(x-1)}}{\cancel{3}\cdot \cancel{(x-1)}}}\\ \\ & =x(x-4)\end{array}$‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$x(x-4)$‍ für $x\ne 1$‍

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner

Beachte, dass es einen gemeinsamen Faktor von $6x$‍ im Zähler und $3x$‍ im Nenner gibt.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{6x^2-12x}{6x-3x^2}}& ={\displaystyle \frac{6x(x-2)}{3x(2-x)}}\end{array}$‍

Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten

Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass $x\ne 0$‍ und $x\ne 2$‍ ist.

Schritt 3: Gemeinsame Faktoren und Gegenzahl-Faktoren kürzen

Beachte, dass wir $6x$‍ als $2\cdot 3x$‍ schreiben können. Dann können wir $3$‍ sowohl beim Zähler als auch beim Nenner kürzen.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{6x(x-2)}{3x(2-x)}}& ={\displaystyle \frac{2\cdot 3x\cdot (x-2)}{3x\cdot (2-x)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{2\cdot \cancel{3x}\cdot (x-2)}{\cancel{3x}\cdot (2-x)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{2\cdot (x-2)}{(2-x)}}\end{array}$‍

Als nächstes können wir die Gegenzahl-Faktoren $(x-2)$‍ und $(2-x)$‍ zu $-1$‍ kürzen.

$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{6x(x-2)}{3x(2-x)}}}& ={\displaystyle \frac{2\cdot (x-2)}{(2-x)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{2\cdot (-1)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(2-x)}}}\\ \\ & =-2\end{array}$‍

Schritt 4: Endgültige Antwort

Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:

$-2$‍ für $x\ne 0,2$‍